Matematika za osnovno šolo: 16 vaj z rešitvami in razlago

Kako uporabiti vaje kot kratek preizkus znanja

Vaje so namenjene učencem zadnje triade osnovne šole, ki želijo preveriti štiri pogoste sklope. Niso test za oceno in ne pokrivajo celotnega učnega načrta. Pokažejo pa lahko, ali težava nastane pri razumevanju naloge, izbiri postopka ali pri samem računanju.

1. Vsako nalogo najprej rešite brez odpiranja rešitve.
2. Ob nalogi označite: Samostojno, S pomočjo namiga ali Ne znam začeti.
3. Šele nato odprite postopek in primerjajte korake, ne samo končnega rezultata.
4. Napačno nalogo čez dan ali dva rešite še enkrat brez gledanja rešitve.

Ulomki

Pri ulomkih preverjamo, ali znate poiskati skupni imenovalec, množiti in deliti ulomke ter rezultat smiselno okrajšati. Pred računanjem ocenite, ali bo rezultat manjši ali večji od ena.

1. 01Naloga 1

   Izračunaj 3/4 + 2/3 in rezultat zapiši tudi kot mešano število.

   Pokaži rešitev in postopek

   Rezultat: 17/12 oziroma 1 5/12

   1. Najmanjši skupni imenovalec števil 4 in 3 je 12.
   2. Ulomka razširimo: 3/4 = 9/12 in 2/3 = 8/12.
   3. Seštejemo števca: 9/12 + 8/12 = 17/12 = 1 5/12.

2. 02Naloga 2

   Izračunaj razliko 5/6 − 1/4 in ulomek okrajšaj, če je mogoče.

   Pokaži rešitev in postopek

   Rezultat: 7/12

   1. Skupni imenovalec števil 6 in 4 je 12.
   2. Velja 5/6 = 10/12 in 1/4 = 3/12.
   3. Odštejemo: 10/12 − 3/12 = 7/12. Ulomka ne moremo več krajšati.

3. 03Naloga 3

   Izračunaj zmnožek 2/5 · 15/8 in rezultat popolnoma okrajšaj.

   Pokaži rešitev in postopek

   Rezultat: 3/4

   1. Pomnožimo števca in imenovalca: (2 · 15)/(5 · 8) = 30/40.
   2. Števili 30 in 40 delimo z 10, zato dobimo 3/4.
   3. Rezultat lahko preverimo z decimalnim zapisom: 3/4 = 0,75.

4. 04Naloga 4

   Izračunaj količnik 3/4 : 2/5 in ga zapiši kot mešano število.

   Pokaži rešitev in postopek

   Rezultat: 15/8 oziroma 1 7/8

   1. Pri deljenju z ulomkom množimo z njegovo obratno vrednostjo.
   2. Zato velja 3/4 : 2/5 = 3/4 · 5/2 = 15/8.
   3. Nepravi ulomek pretvorimo: 15/8 = 1 7/8.

Odstotki

Pri odstotkih ločite tri vprašanja: iščete delež, odstotek ali celoto? Ta odločitev je pomembnejša od izbire ene naučene formule.

1. 05Naloga 5

   Izračunaj 25 % od 160 brez uporabe kalkulatorja.

   Pokaži rešitev in postopek

   Rezultat: 40

   1. 25 % je ena četrtina celote, ker je 25/100 = 1/4.
   2. Število 160 delimo s 4: 160 : 4 = 40.
   3. Hitra ocena potrdi rezultat: četrtina od 160 mora biti manjša od polovice, torej od 80.

2. 06Naloga 6

   Pulover stane 80 €. Kolikšna je cena po 15-odstotnem popustu?

   Pokaži rešitev in postopek

   Rezultat: 68 €

   1. Najprej izračunamo popust: 15 % od 80 € je 0,15 · 80 € = 12 €.
   2. Popust odštejemo od prvotne cene: 80 € − 12 € = 68 €.
   3. Ne odštejemo števila 15, saj 15 % pomeni delež cene, ne 15 €.

3. 07Naloga 7

   Število 42 predstavlja 35 % neke celote. Določi celoto.

   Pokaži rešitev in postopek

   Rezultat: 120

   1. Če je celota x, zapišemo 0,35 · x = 42.
   2. Enačbo delimo z 0,35: x = 42 : 0,35 = 120.
   3. Preverimo: 35 % od 120 je 0,35 · 120 = 42.

4. 08Naloga 8

   Količina se poveča s 50 na 62. Za koliko odstotkov se je povečala?

   Pokaži rešitev in postopek

   Rezultat: 24 %

   1. Povečanje je 62 − 50 = 12.
   2. Povečanje primerjamo z začetno količino: 12/50 = 0,24.
   3. Decimalno število pretvorimo v odstotek: 0,24 = 24 %.

Enačbe

Pri vsakem koraku enačbo preoblikujemo enako na obeh straneh. Na koncu rešitev vedno vstavite v prvotno enačbo; preizkus odkrije veliko računskih napak.

1. 09Naloga 9

   Reši enačbo 3x + 5 = 26 in napravi preizkus.

   Pokaži rešitev in postopek

   Rezultat: x = 7

   1. Na obeh straneh odštejemo 5: 3x = 21.
   2. Obe strani delimo s 3: x = 7.
   3. Preizkus: 3 · 7 + 5 = 21 + 5 = 26.

2. 10Naloga 10

   Reši enačbo 4(x − 2) = 20 in preveri dobljeno rešitev.

   Pokaži rešitev in postopek

   Rezultat: x = 7

   1. Obe strani delimo s 4: x − 2 = 5.
   2. Na obeh straneh prištejemo 2: x = 7.
   3. Preizkus: 4 · (7 − 2) = 4 · 5 = 20.

3. 11Naloga 11

   Reši enačbo x/3 + 4 = 9 in razloži vsak ekvivalentni korak.

   Pokaži rešitev in postopek

   Rezultat: x = 15

   1. Na obeh straneh odštejemo 4: x/3 = 5.
   2. Obe strani pomnožimo s 3: x = 15.
   3. Preizkus: 15/3 + 4 = 5 + 4 = 9.

4. 12Naloga 12

   Reši enačbo 2x + 7 = x + 19 in napravi preizkus.

   Pokaži rešitev in postopek

   Rezultat: x = 12

   1. Na obeh straneh odštejemo x: x + 7 = 19.
   2. Na obeh straneh odštejemo 7: x = 12.
   3. Preizkus: 2 · 12 + 7 = 31 in 12 + 19 = 31.

Besedilne naloge

Najprej napišite, kaj je znano in kaj iščete. Šele nato izberite račun ali enačbo. Če začnete računati takoj po prvem številu v besedilu, lahko uporabite pravilen postopek za napačno vprašanje.

1. 13Naloga 13

   Miha je prebral 3/5 knjige s 30 stranmi. Koliko strani je prebral in koliko jih še ni?

   Pokaži rešitev in postopek

   Rezultat: Prebral je 18 strani, ostalo jih je 12.

   1. Najprej določimo 1/5 knjige: 30 : 5 = 6 strani.
   2. Tri petine so 3 · 6 = 18 strani.
   3. Neprebrane strani dobimo z odštevanjem: 30 − 18 = 12.

2. 14Naloga 14

   V razredu je 28 učencev. Nekega dne jih manjka 25 %. Koliko učencev manjka in koliko jih je prisotnih?

   Pokaži rešitev in postopek

   Rezultat: Manjka 7 učencev, prisotnih je 21.

   1. Ker je 25 % ena četrtina, izračunamo 28 : 4 = 7.
   2. Sedem učencev predstavlja manjkajoči del razreda.
   3. Prisotnih je 28 − 7 = 21 učencev.

3. 15Naloga 15

   Dve otroški in ena odrasla vstopnica skupaj stanejo 22 €. Odrasla vstopnica je 4 € dražja od otroške. Koliko stane vsaka?

   Pokaži rešitev in postopek

   Rezultat: Otroška vstopnica stane 6 €, odrasla pa 10 €.

   1. Ceno otroške vstopnice označimo z x, zato odrasla stane x + 4.
   2. Zapišemo enačbo 2x + (x + 4) = 22, od koder sledi 3x = 18 in x = 6.
   3. Odrasla vstopnica stane 6 € + 4 € = 10 €; preizkus: 6 € + 6 € + 10 € = 22 €.

4. 16Naloga 16

   Nina je prvi dan prekolesarila 12 km, drugi dan pa 25 % več. Koliko kilometrov je prevozila v obeh dneh skupaj?

   Pokaži rešitev in postopek

   Rezultat: Skupaj je prevozila 27 km.

   1. Četrtina od 12 km je 12 : 4 = 3 km, zato je 25-odstotno povečanje 3 km.
   2. Drugi dan je prevozila 12 km + 3 km = 15 km.
   3. V obeh dneh skupaj je prevozila 12 km + 15 km = 27 km.

Kaj povedo rezultati

Ne seštevajte samo pravilnih odgovorov. Bolj uporabno je pogledati, kakšno pomoč ste potrebovali pri posameznem sklopu.

Če sta pri dveh ali več nalogah istega sklopa oznaki »S pomočjo namiga« ali »Ne znam začeti«, je smiselno ponoviti prav ta sklop. Ena napačna naloga pa je lahko le nepazljivost, zato preverite tudi prepis števil, predznake in merske enote.

Pogoste napake pri reševanju

• Ulomki: seštevanje imenovalcev namesto razširjanja na skupni imenovalec.
• Odstotki: primerjanje spremembe s končno namesto z začetno vrednostjo.
• Enačbe: sprememba samo ene strani enačbe ali izpuščen preizkus.
• Besedilne naloge: računanje z vsemi številkami, preden je jasno, kaj vprašanje zahteva.

Kako vaditi naprej

Izberite en sklop, ne vseh štirih hkrati. Najprej obnovite pomen postopka, nato rešite dva podobna primera in čez nekaj dni poskusite znova brez zapiskov. Pri tem lahko uporabite tudi pet korakov pristopa LEARN, ki pomagajo ločiti razlago, vodeno vajo in samostojni preizkus.

Če učenec pri več nalogah ne zna izbrati prvega koraka ali se ista napaka ponavlja, lahko pri individualnih spletnih inštrukcijah matematike skupaj ugotoviva, katera osnova manjka. Cilj ni reševanje domače naloge namesto učenca, temveč razumevanje postopka in samostojna uporaba pri novem primeru.

Vse naloge in razlage na tej strani so izvirno pripravljene za vajo. Izbor tem sledi področjem, ki jih uradni učni načrti matematike za osnovno šolo obravnavajo pri racionalnih številih, odstotkih, enačbah in problemskih nalogah.